Groupe en mathématiques.

Pour retarder la sénilité, je continue l'étude intermittente des mathématiques. Cela compense aussi j'espère le recours un peux trop fréquent à Angélica et ces copines.

Donc supposons un nouveau type de groupe (un groupe dechicotesque) ayant plusieurs éléments neutres (je ne vois pas encore l'intérêt mais je suis curieux!):

Normalement s'il ya deux éléments neutres e et e' dans un groupe  (G,*) ils sont égaux:

e' est neutre ==> e*e'=e 

e est neutre ==> e*e'=e'

donc e=e'

Mais supposons que dans un groupe dechicotesque on ait e et e' qui sont des éléments neutres mais pas entre eux. On aurait donc   e*e'=a et e'*e=b et (a,b)  appartient à (GxG).

Déjà on a :  a*e= (e*e')*e =e*(e'*e)=e*b=b 

Je n'est pas encore bien définis les propriété de ce nouveau type groupe (qui n'en n'est pas un  mais qui lui ressemble un peux) mais on on va continuer en acceptant que a=e*e'=e'*e  appartient à G et que * est associative pour tout élément de G.

Pout tout x de a : 

x*a= x*e*e'= x*e'=x on a aussi x*a=x*e'*e=x*e=x

a*x=e*e'*x=e*x=x ect 

On pourrait différencier neutre à droite et neutre à gauche mais il semblerait que si e et e' sont neutres à gauche et à droite alors c'est également le cas pour a.

mais alors puisque a =e*e'=e'*e:

 a*e= (e*e')*e=  e*a   de même a*e=(e'*e)*e=e'*e=a

e*a=e*(e*e')=e*e'=a   ect......

il semblerait que a soit aussi un élément neutre pour e et e' et vice versa!

on pourrait essayer aussi avec p éléments neutres  e,e',e'', .........

ce qui supposerait l'existence maximum de m éléments neutre supplémentaires m=(p)2 =p!/[(p-2)!2!] en cas de neutralité simultanée à droite et gauche (à vérifier).

je dis maximum car on pourrait avoir e*e'=e''*e'''.

bon voyons voir : si a=e*e' et a'=e*e''

a*a'= e*e'*e*e''=e*a*e''=e*e''=a'

a*a'= e*e'*e*e''=a*e=a

les éléments neutres de type a sont neutre aussi entre eux.

ce qui suppose un nombre maximum de e' largement inférieur à card(G).

Chaque élément pourrait avoir plusieurs symétriques relatifs à un des élément neutre de type a ou e

Il semblerait que l'on pourrait  toujours simplifier.

x*y=x*z ==> y=z en utilisant n'importe lequel des éléments neutres et du symétrique associé.

La question qui reste est : peut-on construire un groupe dechicotesque ?

a suivre....