Rester coincé.

Je reste bloqué sur l'exercice 9.
Je suis un mathématicien amateur mais en plus je suis vieux.
Cela m'arrive donc assez fréquemment mais c'est la première fois dans ce chapitre 5.
En plus je ressent un certain malaise en lisant la correction que je ne comprends pas.
Il y a peut-être un problèmes nécessitant une correction.
C'est pour cela que j'espère que l'on me reprochera pas d'avoir publié une copie de quelques pages du livre.

je suppose qu'on me demande (au moins) de démontrer que quelque soi x,y de E et une opération quelconque * sur E:
x*(x*y)=(y*x)*x=y
implique
* est commutative.
Pour essayer de contourner la difficulté j'utilise la contraposée:
il existe x,y de E et une opération * sur E tels que :
x*y différent de y*x
implique
x*(x*y) différent de (y*x)*x ou ou (y*x)*x différent de y

mais encore car on a aucune garantie que * permette x*t=u*x même si t différent de u
puisqu'on sait seulement que * est non commutative.

il existe * sur E ,x et y de E , x*y=t et y*x=u et t différent de u, x*t différent de u*x
implique
x*(x*y)= x*t différent de (y*x)*x= u*x

donc :
quelque soit x et y de E, quelque soit * sur E:
* non commutative
implique
if est faut de dire x*(x*y)=(y*x)*x

CQFD
c'est aussi un peux désorientant mais à mon avis plus facile à vérifier.
Bien que la démonstration soit plus longue.

Pour les néophytes une présentation de ce qu'est la contraposée:

en math pour démontrer que A implique B (lorsque A est vrai alors B est aussi vrai)

on utilise la contraposée : Non B implique Non A (lorsque B est Faux alors A l'est aussi)

Par exemple:

"Il n'est pas con" implique "il ne se fait pas baiser" 

Au lieu de ça on peut essayer de démontrer:

"Il se fait baiser" implique "il est con"

Ce qui dans ce cas malheureusement semble être aussi difficile à démontrer.